Horák prošel mládeží Viktorie Žižkov, Slavie i Sparty, kde se následně propracoval přes rezervu až do A-týmu. Svůj debut v áčku si odbyl v pohárovém utkání proti Líšni, jeho rozvoj ale přibrzdilo vážné zranění. Po tvrdém zákroku v zápase béčka proti Kroměříži utrpěl vpáčenou zlomeninu lebeční kosti.
Talentovaný středopolař se však dokázal vrátit na trávníky už po několika měsících. Během podzimu 2024 debutoval v nejvyšší soutěži a vysloužil si také pozvánku do české reprezentace do 21 let.
Jarní část uplynulé sezony strávil na hostování ve Slovácku, kde odehrál 12 ligových utkání a vstřelil svůj premiérový gól v české nejvyšší soutěži.
Další kapitolu své kariéry Horák napíše v Jablonci, kde by měl dostat větší prostor k pravidelnému ligovému vytížení. "Roman je mladý středový hráč, který má touhu se zlepšovat. Jedná se o hráče, který může hrát na více postech," uvedl sportovní ředitel Jablonce Zdeněk Koukal pro klubový web.
