Kovář se v Leverkusenu, kam přišel v srpnu 2023, nedokázal prosadit do role plnohodnotné jedničky. Trenér Xabi Alonso dával v klíčových zápasech přednost zkušenějšímu Lukáši Hradeckému, k němuž Bayer a jeho nový lodivod Erik ten Hag v létě přivedl Nizozemce Marka Flekkena z Brentfordu.
Brankář české reprezentace tak logicky začal pokukovat po novém angažmá. Zpočátku se mluvilo o zájmu Kodaně, nakonec však bývalý brankář Sparty podle podle zdrojů webu infotbal.cz a německé stanice Sky Sports zvolí podobnou cestu jako jeho krajan Jaroš – tedy tu nizozemskou.
Konkrétní plán a garanci pozice jedničky předložilo Kovářovi až PSV, které v současnosti vede nizozemský kouč Peter Bosz. Opačným směrem, tedy z Eindhovenu do Leverkusenu, by se měl stěhovat Malik Tillman. Americký záložník se může stát vůbec nejdražší posilou Bayeru v historii.
Kovář je odchovancem Slovácka, odkud ještě jako dorostenec přestoupil do akademie Manchesteru United. Debutu v A-týmu Red Devils se nedočkal, přestože byl několikrát součástí zápasové soupisky. Před odchodem do Leverkusenu sbíral zkušenosti na hostováních, především v nižších soutěžích. Zachytal si v anglickém třetiligovém Swindonu Town, kde si stoupnul mezi tři tyče 21krát a zaznamenal jedno čisté konto. Ve stejné soutěži oblékal také dres Burtonu Albion, v němž nastoupil šestkrát a vybojoval čtyři nuly.
Následně hájil během sezony 2022/23 barvy pražské Sparty, s níž vyhrál mistrovský titul. Ve 32 utkáních nepustil ani jeden gól v 11 případech. Poslední dva roky působil právě v Německu, kde vedle Bundesligy získal také Německý pohár a superpohár. V Leverkusenu odchytal rovněž 32 zápasů a v polovině z nich neinkasoval.